Розв'яжіть 4y^2-4y=96

$$4 y ^ { 2 } - 4 y = 96$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{97} + 1}{2} \approx 5,424428901$$

$$y=\frac{1-\sqrt{97}}{2}\approx -4,424428901$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4y^{2}-4y=96$$

Відніміть 96 від обох сторін цього рівняння.

$$4y^{2}-4y-96=96-96$$

Якщо відняти 96 від самого себе, залишиться 0.

$$4y^{2}-4y-96=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -4 замість b і -96 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-96\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-96\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-96\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -96.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1536}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 1536.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1552}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1552.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{97}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$y=\frac{4±4\sqrt{97}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{4±4\sqrt{97}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{4±4\sqrt{97}}{8} за додатного значення ±. Додайте 4 до 4\sqrt{97}.

$$y=\frac{4\sqrt{97}+4}{8}$$

Розділіть 4+4\sqrt{97} на 8.

$$y=\frac{\sqrt{97}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{4±4\sqrt{97}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{97} від 4.

$$y=\frac{4-4\sqrt{97}}{8}$$

Розділіть 4-4\sqrt{97} на 8.

$$y=\frac{1-\sqrt{97}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{97}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{97}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y=96$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{96}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{96}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$y^{2}-y=\frac{96}{4}$$

Розділіть 96 на 4.

$$y^{2}-y=24$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=24+\frac{1}{4}$$

Додайте 24 до \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{97}{4}$$

Розкладіть y^{2}-y+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{97}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{97}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{97}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{97}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{97}}{2}$$