Розв'яжіть 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Розкласти на множники

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4y^{2}+ay+by+27. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -24.

$$a=-18 b=-6$$

Перепишіть 4y^{2}-24y+27 як \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

2y на першій та -3 в друге групу.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2y-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Додайте 576 до -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{24±12}{8} за додатного значення ±. Додайте 24 до 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{36}{8} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{9}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{24±12}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 12 від 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{8} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{9}{2} на x_{1} та \frac{3}{2} на x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{9}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Щоб помножити \frac{2y-9}{2} на \frac{2y-3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Обчислити

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$