Розв'яжіть 4y^2-12y+9

$$4 y ^ { 2 } - 12 y + 9$$

Розкласти на множники

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4y^{2}+ay+by+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-6 b=-6$$

Перепишіть 4y^{2}-12y+9 як \left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right).

$$\left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right)$$

2y на першій та -3 в друге групу.

$$2y\left(2y-3\right)-3\left(2y-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2y-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(4y^{2}-12y+9)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 4y^{2}.

$$\sqrt{4y^{2}}=2y$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-12y+9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{12±0}{8}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{2} на x_{1} та \frac{3}{2} на x_{2}.

$$4y^{2}-12y+9=4\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Щоб помножити \frac{2y-3}{2} на \frac{2y-3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4y^{2}-12y+9=\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Обчислити

$$\left(2y-3\right)^{2}$$