Розв'яжіть 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Знайдіть x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$4x-y=5$$

Додайте y до обох сторін цього рівняння.

$$4x=y+5$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Помножте \frac{1}{4} на y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Підставте \frac{5+y}{4} замість x в іншому рівнянні: -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Помножте -4 на \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Додайте -y до 5y.

$$4y-5=7$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$4y=12$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$y=3$$

Підставте 3 замість y у рівняння x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Помножте \frac{1}{4} на 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Щоб додати \frac{5}{4} до \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=2$$

Систему розв’язано.

$$x=2,y=3$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=2,y=3$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Щоб отримати рівність між 4x і -4x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -4, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Виконайте спрощення.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Знайдіть різницю -16x+20y=28 і -16x+4y=-20. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Додайте -16x до 16x. Члени -16x та 16x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$4y-20y=-20-28$$

Додайте 4y до -20y.

$$-16y=-20-28$$

Додайте -20 до -28.

$$-16y=-48$$

Розділіть обидві сторони на -16.

$$y=3$$

Підставте 3 замість y у рівняння -4x+5y=7. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Помножте 5 на 3.

$$-4x+15=7$$

Відніміть 15 від обох сторін цього рівняння.

$$-4x=-8$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$x=2$$

Систему розв’язано.

$$x=2,y=3$$