Розв'яжіть 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Знайдіть x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$4x-5y=2$$

Додайте 5y до обох сторін цього рівняння.

$$4x=5y+2$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Помножте \frac{1}{4} на 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Підставте \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} замість x в іншому рівнянні: x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Додайте \frac{5y}{4} до 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{45}{4}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=\frac{18}{5}$$

Підставте \frac{18}{5} замість y у рівняння x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Щоб помножити \frac{5}{4} на \frac{18}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{9}{2}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=5$$

Систему розв’язано.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Щоб отримати рівність між 4x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Виконайте спрощення.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Знайдіть різницю 4x+40y=164 і 4x-5y=2. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Додайте 4x до -4x. Члени 4x та -4x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-5y-40y=2-164$$

Додайте -5y до -40y.

$$-45y=2-164$$

Додайте 2 до -164.

$$-45y=-162$$

Розділіть обидві сторони на -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Підставте \frac{18}{5} замість y у рівняння x+10y=41. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Помножте 10 на \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Відніміть 36 від обох сторін цього рівняння.

$$x=5$$

Систему розв’язано.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$