Розв'яжіть 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Знайдіть x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$4x-5y=-14$$

Додайте 5y до обох сторін цього рівняння.

$$4x=5y-14$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Помножте \frac{1}{4} на 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Підставте \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} замість x в іншому рівнянні: 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Помножте 7 на \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Додайте \frac{35y}{4} до y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Додайте \frac{49}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{39}{4}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Помножте \frac{5}{4} на 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Щоб додати -\frac{7}{2} до \frac{5}{2}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Щоб отримати рівність між 4x і 7x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 7, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Виконайте спрощення.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Знайдіть різницю 28x+4y=-20 і 28x-35y=-98. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Додайте 28x до -28x. Члени 28x та -28x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-35y-4y=-98+20$$

Додайте -35y до -4y.

$$-39y=-98+20$$

Додайте -98 до 20.

$$-39y=-78$$

Розділіть обидві сторони на -39.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння 7x+y=-5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$7x+2=-5$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$7x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=2$$