Розв'яжіть 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Знайдіть x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$4x-3y=2$$

Додайте 3y до обох сторін цього рівняння.

$$4x=3y+2$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Помножте \frac{1}{4} на 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Підставте \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} замість x в іншому рівнянні: x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Додайте \frac{3y}{4} до 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{23}{4}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=-2$$

Підставте -2 замість y у рівняння x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Помножте \frac{3}{4} на -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до -\frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=-2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-1,y=-2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Щоб отримати рівність між 4x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Виконайте спрощення.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Знайдіть різницю 4x+20y=-44 і 4x-3y=2. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Додайте 4x до -4x. Члени 4x та -4x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-3y-20y=2+44$$

Додайте -3y до -20y.

$$-23y=2+44$$

Додайте 2 до 44.

$$-23y=46$$

Розділіть обидві сторони на -23.

$$y=-2$$

Підставте -2 замість y у рівняння x+5y=-11. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Помножте 5 на -2.

$$x-10=-11$$

Додайте 10 до обох сторін цього рівняння.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=-2$$