Розв'яжіть 4x-2y=28text{and}x=y+5

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Знайдіть x, y

$$x=9$$

$$y=4$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=5$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$4x-2y=28$$

Додайте 2y до обох сторін цього рівняння.

$$4x=2y+28$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Помножте \frac{1}{4} на 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Підставте \frac{y}{2}+7 замість x в іншому рівнянні: x-y=5.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Додайте \frac{y}{2} до -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Помножте обидві сторони на -2.

$$y=4$$

Підставте 4 замість y у рівняння x=\frac{1}{2}y+7. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Помножте \frac{1}{2} на 4.

$$x=2+7$$

Додайте 7 до 2.

$$x=9$$

Систему розв’язано.

$$x=9,y=4$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=5$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=9,y=4$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=5$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Щоб отримати рівність між 4x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Виконайте спрощення.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Знайдіть різницю 4x-4y=20 і 4x-2y=28. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Додайте 4x до -4x. Члени 4x та -4x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-2y+4y=28-20$$

Додайте -2y до 4y.

$$2y=28-20$$

Додайте 28 до -20.

$$2y=8$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$y=4$$

Підставте 4 замість y у рівняння x-y=5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-4=5$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$x=9$$

Систему розв’язано.

$$x=9,y=4$$