Розв'яжіть 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-12 b=3$$

Перепишіть 4x^{2}-9x-9 як \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

4x на першій та 3 в друге групу.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-3=0 та 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -9 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Додайте 81 до 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±15}{8} за додатного значення ±. Додайте 9 до 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Розділіть 24 на 8.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±15}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 15 від 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Поділіть -\frac{9}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{8}. Потім додайте -\frac{9}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Щоб додати \frac{9}{4} до \frac{81}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Додайте \frac{9}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$