Розв'яжіть 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-4 b=-1$$

Перепишіть 4x^{2}-5x+1 як \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

4x на першій та -1 в друге групу.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -5 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Додайте 25 до -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±3}{8} за додатного значення ±. Додайте 5 до 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Розділіть 8 на 8.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±3}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть -\frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{8}. Потім додайте -\frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Додайте \frac{5}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$