Розв'яжіть 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-2 b=-2$$

Перепишіть 4x^{2}-4x+1 як \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

2x на першій та -1 в друге групу.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -4 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{1}{2}$$