Розв'яжіть 4x^2-2x+5=2

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 2$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{4}\approx 0,25+0,829156198i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{4}\approx 0,25-0,829156198i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-2x+5=2$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-2x+5-2=2-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-2x+5-2=0$$

Відніміть 2 від 5.

$$4x^{2}-2x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -2 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 3}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 4}$$

Додайте 4 до -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{8} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{8}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{11} на 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{11} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{8}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{11} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{4} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+5=2$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-2x+5-5=2-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-2x=2-5$$

Відніміть 5 від 2.

$$4x^{2}-2x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{3}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{3}{4}$$

Поділіть -\frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{4}. Потім додайте -\frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати -\frac{3}{4} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{11}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{11}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{11}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{11}i}{4}$$

Додайте \frac{1}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{4} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{4}$$