Розв'яжіть 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -18 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Піднесіть -18 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Додайте 324 до -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -18, дорівнює 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} за додатного значення ±. Додайте 18 до 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Розділіть 18+2\sqrt{61} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{61} від 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Розділіть 18-2\sqrt{61} на 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-18}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Поділіть -\frac{9}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{4}. Потім додайте -\frac{9}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Щоб додати -\frac{5}{4} до \frac{81}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Додайте \frac{9}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$