Розв'яжіть 4x^2-16x+15

$$4 x ^ { 2 } - 16 x + 15$$

Розкласти на множники

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx+15. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-16 ab=4\times 15=60$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -16.

$$a=-10 b=-6$$

Перепишіть 4x^{2}-16x+15 як \left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right)$$

Винесіть за дужки 2x в першій і -3 у другій групі.

$$2x\left(2x-5\right)-3\left(2x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Піднесіть -16 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 15}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 15.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 4}$$

Додайте 256 до -240.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -16, дорівнює 16.

$$x=\frac{16±4}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{16±4}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{16±4}{8} за додатного значення ±. Додайте 16 до 4.

$$x=\frac{20}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{20}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{16±4}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4 від 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{2} на x_{1} та \frac{3}{2} на x_{2}.

$$4x^{2}-16x+15=4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{2x-3}{2}$$

Щоб помножити \frac{2x-5}{2} на \frac{2x-3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}-16x+15=\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Обчислити

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$