Розв'яжіть 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-14x=9$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -14 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Додайте 196 до 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} за додатного значення ±. Додайте 14 до 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Розділіть 14+2\sqrt{85} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{85} від 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Розділіть 14-2\sqrt{85} на 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати \frac{9}{4} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$