Розв'яжіть 4x^2-12x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 3}{2} \approx 3,08113883$$

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\approx -0,08113883$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -12 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+16}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{160}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 160.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} за додатного значення ±. Додайте 12 до 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+12}{8}$$

Розділіть 12+4\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{10} від 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{10}}{8}$$

Розділіть 12-4\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$4x^{2}-12x=1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Розділіть -12 на 4.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{4}$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1+9}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$