Розв'яжіть 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Відніміть 16 від 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -11 замість b і 14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Додайте 121 до -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} за додатного значення ±. Додайте 11 до i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{103} від 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Відніміть 30 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Якщо відняти 30 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Відніміть 30 від 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Поділіть -\frac{11}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{8}. Потім додайте -\frac{11}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Щоб додати -\frac{7}{2} до \frac{121}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Додайте \frac{11}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$