Розв'яжіть 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 4 на a, 8 – на b, а -45 – на c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±28}{8} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{5}{2} і x+\frac{9}{2} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{5}{2} має додатне значення, а x+\frac{9}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{9}{2} має додатне значення, а x-\frac{5}{2} – від’ємне.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$