Розв'яжіть 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0,190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1,309016994$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 6 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Додайте 36 до -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} за додатного значення ±. Додайте -6 до 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Розділіть -6+2\sqrt{5} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{5} від -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Розділіть -6-2\sqrt{5} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{6}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть \frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{4}. Потім додайте \frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Відніміть \frac{3}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$