Розв'яжіть 4x^2+5x-15=8

$$4 x ^ { 2 } + 5 x - 15 = 8$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{393} - 5}{8} \approx 1,85302845$$

$$x=\frac{-\sqrt{393}-5}{8}\approx -3,10302845$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+5x-15=8$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+5x-15-8=8-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+5x-15-8=0$$

Відніміть 8 від -15.

$$4x^{2}+5x-23=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 5 замість b і -23 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+368}}{2\times 4}$$

Додайте 25 до 368.

$$x=\frac{-5±\sqrt{393}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{393}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{393}}{8} за додатного значення ±. Додайте -5 до \sqrt{393}.

$$x=\frac{\sqrt{393}-5}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{393}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{393} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{393}-5}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{393}-5}{8} x=\frac{-\sqrt{393}-5}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+5x-15=8$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+5x-15-\left(-15\right)=8-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+5x=8-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 8.

$$4x^{2}+5x=23$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=\frac{23}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{23}{4}$$

Поділіть \frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{8}. Потім додайте \frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{23}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{23}{4}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати \frac{23}{4} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{393}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{393}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{393}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{393}}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{393}}{8}$$

Відніміть \frac{5}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{393}-5}{8} x=\frac{-\sqrt{393}-5}{8}$$