Розв'яжіть 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-81. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 48.

$$a=-6 b=54$$

Перепишіть 4x^{2}+48x-81 як \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Винесіть за дужки 2x в першій і 27 у другій групі.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-3=0 і 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 48 замість b і -81 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 48 до квадрата.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Додайте 2304 до 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-48±60}{8} за додатного значення ±. Додайте -48 до 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-48±60}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 60 від -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-108}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Додайте 81 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Якщо відняти -81 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Відніміть -81 від 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Розділіть 48 на 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Поділіть 12 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 6. Потім додайте 6 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Додайте \frac{81}{4} до 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Розкладіть x^{2}+12x+36 на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$