Розв'яжіть 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 4 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} за додатного значення ±. Додайте -4 до 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Розділіть -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} на 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8i\sqrt{2} від -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Розділіть -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} на 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Щоб додати -\frac{9}{4} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$