Розв'яжіть 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 4.

$$1,4 2,2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+4=5 2+2=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 4.

$$a=2 b=2$$

Перепишіть 4x^{2}+4x+1 як \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Винесіть за дужки 2x в 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Винесіть за дужки спільний член 2x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 4 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=-\frac{1}{2}$$