Розв'яжіть 4x^2+24x+35

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 35$$

Розкласти на множники

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx+35. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=24 ab=4\times 35=140$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 140.

$$1,140 2,70 4,35 5,28 7,20 10,14$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+140=141 2+70=72 4+35=39 5+28=33 7+20=27 10+14=24$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 24.

$$a=10 b=14$$

Перепишіть 4x^{2}+24x+35 як \left(4x^{2}+10x\right)+\left(14x+35\right).

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(14x+35\right)$$

Винесіть за дужки 2x в першій і 7 у другій групі.

$$2x\left(2x+5\right)+7\left(2x+5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x+5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+24x+35=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 35}}{2\times 4}$$

Піднесіть 24 до квадрата.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 35}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 35}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 35.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-560}}{2\times 4}$$

Додайте 576 до -560.

$$x=\frac{-24±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 16.

$$x=\frac{-24±4}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-24±4}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24±4}{8} за додатного значення ±. Додайте -24 до 4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24±4}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4 від -24.

$$x=-\frac{28}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-28}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{5}{2} на x_{1} та -\frac{7}{2} на x_{2}.

$$4x^{2}+24x+35=4\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4x^{2}+24x+35=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{2x+5}{2}\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{7}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{2x+5}{2}\times \frac{2x+7}{2}$$

Щоб помножити \frac{2x+5}{2} на \frac{2x+7}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}+24x+35=\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Обчислити

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$