Розв'яжіть 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 14 замість b і -27 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Додайте 196 до 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} за додатного значення ±. Додайте -14 до 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Розділіть -14+2\sqrt{157} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{157} від -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Розділіть -14-2\sqrt{157} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Додайте 27 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Якщо відняти -27 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Відніміть -27 від 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{14}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Поділіть \frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{4}. Потім додайте \frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати \frac{27}{4} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Відніміть \frac{7}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$