Розв'яжіть 4x^2+12x+5

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 5$$

Розкласти на множники

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 12.

$$a=2 b=10$$

Перепишіть 4x^{2}+12x+5 як \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

2x на першій та 5 в друге групу.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 64.

$$x=\frac{-12±8}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-12±8}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±8}{8} за додатного значення ±. Додайте -12 до 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±8}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8 від -12.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{1}{2} на x_{1} та -\frac{5}{2} на x_{2}.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\times \frac{2x+5}{2}$$

Щоб помножити \frac{2x+1}{2} на \frac{2x+5}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}+12x+5=\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Обчислити

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$