Розв'яжіть 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 12 замість b і 19 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} за додатного значення ±. Додайте -12 до 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Розділіть -12+4i\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{10} від -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Розділіть -12-4i\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Відніміть 19 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Якщо відняти 19 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Розділіть 12 на 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Щоб додати -\frac{19}{4} до \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$