Розв'яжіть 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-20. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=-5 b=16$$

Перепишіть 4x^{2}+11x-20 як \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

x на першій та 4 в друге групу.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4x-5=0 та x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 11 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Додайте 121 до 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±21}{8} за додатного значення ±. Додайте -11 до 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±21}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 21 від -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Розділіть -32 на 8.

$$x=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Додайте 20 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Якщо відняти -20 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Відніміть -20 від 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Розділіть 20 на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Поділіть \frac{11}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{8}. Потім додайте \frac{11}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Додайте 5 до \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Відніміть \frac{11}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$