Розв'яжіть 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Знайдіть p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4p^{2}+ap+bp-10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -3.

$$a=-8 b=5$$

Перепишіть 4p^{2}-3p-10 як \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

4p на першій та 5 в друге групу.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член p-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть p-2=0 та 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -3 замість b і -10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Додайте 9 до 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{3±13}{8} за додатного значення ±. Додайте 3 до 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Розділіть 16 на 8.

$$p=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{3±13}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{8} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Додайте 10 до обох сторін цього рівняння.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Якщо відняти -10 від самого себе, залишиться 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Відніміть -10 від 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{4} до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{3}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{8}. Потім додайте -\frac{3}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Щоб додати \frac{5}{2} до \frac{9}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Додайте \frac{3}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$