Розв'яжіть 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Знайдіть n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 11 з обох сторін.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4n^{2}+an+bn-11. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-11 b=4$$

Перепишіть 4n^{2}-7n-11 як \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Винесіть за дужки n в 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Винесіть за дужки спільний член 4n-11, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 4n-11=0 і n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4n^{2}-7n=11$$

Відніміть 11 від обох сторін цього рівняння.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Якщо відняти 11 від самого себе, залишиться 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -7 замість b і -11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Додайте 49 до 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{7±15}{8} за додатного значення ±. Додайте 7 до 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{22}{8} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{11}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{7±15}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 15 від 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Розділіть -8 на 8.

$$n=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Поділіть -\frac{7}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{8}. Потім додайте -\frac{7}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Щоб додати \frac{11}{4} до \frac{49}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Додайте \frac{7}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$