Розв'яжіть 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Покрокове розв’язання

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x^{2}+8x на x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x^{3}+8x^{2} на x+2 і звести подібні члени.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -5x на x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Додайте 5x^{2} до обох сторін.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Додайте 16x^{2} до 5x^{2}, щоб отримати 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Додайте 10x до обох сторін.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Упорядкуйте рівняння, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте члени в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 4. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 на x+1, щоб отримати 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 4. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 на x+1, щоб отримати 4x^{2}+8x+1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 4 на a, 8 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Розв’яжіть рівняння 4x^{2}+8x+1=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$