Розв'яжіть 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Відніміть 169 від 4, щоб отримати -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-165. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 8.

$$a=-22 b=30$$

Перепишіть 4x^{2}+8x-165 як \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

2x на першій та 15 в друге групу.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-11, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-11=0 та 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Відніміть 169 від 4, щоб отримати -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 8 замість b і -165 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Додайте 64 до 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±52}{8} за додатного значення ±. Додайте -8 до 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{44}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{11}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±52}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 52 від -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-60}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Відніміть 169 від 4, щоб отримати -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Додайте 165 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$4x^{2}+8x=165$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Розділіть 8 на 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Додайте \frac{165}{4} до 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$