Розв'яжіть 4y^2-21y+5

$$4 { y }^{ 2 } -21y+5$$

Розкласти на множники

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4y^{2}+ay+by+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-21 ab=4\times 5=20$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -21.

$$a=-20 b=-1$$

Перепишіть 4y^{2}-21y+5 як \left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right).

$$\left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right)$$

4y на першій та -1 в друге групу.

$$4y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-21y+5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Піднесіть -21 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 5.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-80}}{2\times 4}$$

Додайте 441 до -80.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 361.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±19}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -21, дорівнює 21.

$$y=\frac{21±19}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{21±19}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{21±19}{8} за додатного значення ±. Додайте 21 до 19.

$$y=\frac{40}{8}$$

Розділіть 40 на 8.

$$y=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{21±19}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 19 від 21.

$$y=\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{8} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{1}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 5 на x_{1} та \frac{1}{4} на x_{2}.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\left(y-\frac{1}{4}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\times \frac{4y-1}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4y^{2}-21y+5=\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Обчислити

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$