Розв'яжіть 4x^2-x+2=0

$$4 { x }^{ 2 } -x+2=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{8}\approx 0,125+0,695970545i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{8}\approx 0,125-0,695970545i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\times 2}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\times 4}$$

Додайте 1 до -32.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -31.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{31}i}{8} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{31}.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{31}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{31} від 1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{8} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}$$

Поділіть -\frac{1}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{8}. Потім додайте -\frac{1}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{64}$$

Щоб додати -\frac{1}{2} до \frac{1}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{31}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{31}i}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{31}i}{8}$$

Додайте \frac{1}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{8} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{8}$$