Розв'яжіть 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Розкласти на множники

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -8.

$$1,-8 2,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-8 b=1$$

Перепишіть 4x^{2}-7x-2 як \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки 4x в 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Додайте 49 до 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±9}{8} за додатного значення ±. Додайте 7 до 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Розділіть 16 на 8.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±9}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 2 на x_{1} та -\frac{1}{4} на x_{2}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{4} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$