Розв'яжіть 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -4 замість b і -16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} за додатного значення ±. Додайте 4 до 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Розділіть 4+4\sqrt{17} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{17} від 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Розділіть 4-4\sqrt{17} на 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Додайте 16 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Якщо відняти -16 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Відніміть -16 від 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Розділіть 16 на 4.

$$x^{2}-x=4$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Додайте 4 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$