Розв'яжіть 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-10 b=6$$

Перепишіть 4x^{2}-4x-15 як \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

2x на першій та 3 в друге групу.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-5=0 та 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -4 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±16}{8} за додатного значення ±. Додайте 4 до 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{20}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±16}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Щоб додати \frac{15}{4} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$