Розв'яжіть 4x^2-3x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -3x+10=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}\approx 0,375+1,536025716i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}\approx 0,375-1,536025716i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -3 замість b і 10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\times 10}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-160}}{2\times 4}$$

Додайте 9 до -160.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-151}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -151.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8} за додатного значення ±. Додайте 3 до i\sqrt{151}.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{151} від 3.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-3x+10-10=-10$$

Якщо відняти 10 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-3x=-10$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{3}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{8}. Потім додайте -\frac{3}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Щоб додати -\frac{5}{2} до \frac{9}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{151}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{151}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{151}i}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{151}i}{8}$$

Додайте \frac{3}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$