Розв'яжіть 4x^2-12x-7

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7$$

Розкласти на множники

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-14 b=2$$

Перепишіть 4x^{2}-12x-7 як \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Винесіть за дужки 2x в 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±16}{8} за додатного значення ±. Додайте 12 до 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{28}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±16}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{7}{2} на x_{1} та -\frac{1}{2} на x_{2}.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{7}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x+1}{2}$$

Щоб помножити \frac{2x-7}{2} на \frac{2x+1}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}-12x-7=\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$