Розв'яжіть 4x^2-11x-3

$$4 { x }^{ 2 } -11x-3$$

Розкласти на множники

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-12 b=1$$

Перепишіть 4x^{2}-11x-3 як \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки 4x в 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Додайте 121 до 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±13}{8} за додатного значення ±. Додайте 11 до 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Розділіть 24 на 8.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±13}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 3 на x_{1} та -\frac{1}{4} на x_{2}.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{4} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$