Розв'яжіть 4x^2+x-5=0

$$4 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-4 b=5$$

Перепишіть 4x^{2}+x-5 як \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

4x на першій та 5 в друге групу.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 4x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 1 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Додайте 1 до 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-1±9}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±9}{8} за додатного значення ±. Додайте -1 до 9.

$$x=\frac{8}{8}$$

Розділіть 8 на 8.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±9}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від -1.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$4x^{2}+x=5$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{5}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Поділіть \frac{1}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{8}. Потім додайте \frac{1}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Щоб додати \frac{5}{4} до \frac{1}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Відніміть \frac{1}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$