Розв'яжіть 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Знайдіть x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 120 з обох сторін.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-30. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-5 b=6$$

Перепишіть x^{2}+x-30 як \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 6 у другій групі.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-5=0 і x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+4x=120$$

Відніміть 120 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Якщо відняти 120 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 4 замість b і -120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±44}{8} за додатного значення ±. Додайте -4 до 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Розділіть 40 на 8.

$$x=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±44}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 44 від -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Розділіть -48 на 8.

$$x=-6$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=5 x=-6$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Розділіть 120 на 4.

$$x^{2}+x=30$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Додайте 30 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=5 x=-6$$