Розв'яжіть 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+4x=1$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 4 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} за додатного значення ±. Додайте -4 до 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Розділіть -4+4\sqrt{2} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{2} від -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Розділіть -4-4\sqrt{2} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$