Розв'яжіть 4x^2+27x+9=0

$$4 { x }^{ 2 } +27x+9=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{3\sqrt{65}-27}{8}\approx -0,351653344$$

$$x=\frac{-3\sqrt{65}-27}{8}\approx -6,398346656$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+27x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 27 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Піднесіть 27 до квадрата.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-16\times 9}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 9.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-144}}{2\times 4}$$

Додайте 729 до -144.

$$x=\frac{-27±\sqrt{585}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 585.

$$x=\frac{-27±3\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-27±3\sqrt{65}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-27±3\sqrt{65}}{8} за додатного значення ±. Додайте -27 до 3\sqrt{65}.

$$x=\frac{3\sqrt{65}-27}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-27±3\sqrt{65}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{65} від -27.

$$x=\frac{-3\sqrt{65}-27}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{65}-27}{8} x=\frac{-3\sqrt{65}-27}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+27x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+27x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+27x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+27x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Поділіть \frac{27}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{27}{8}. Потім додайте \frac{27}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{27}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=-\frac{9}{4}+\frac{729}{64}$$

Щоб додати -\frac{9}{4} до \frac{729}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{585}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{585}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{585}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{27}{8}=\frac{3\sqrt{65}}{8} x+\frac{27}{8}=-\frac{3\sqrt{65}}{8}$$

Відніміть \frac{27}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{65}-27}{8} x=\frac{-3\sqrt{65}-27}{8}$$