Розв'яжіть 4x^2+13x+5=0

$$4 { x }^{ 2 } +13x+5=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}\approx -0,445752358$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}\approx -2,804247642$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 13 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Піднесіть 13 до квадрата.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-16\times 5}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 5.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-80}}{2\times 4}$$

Додайте 169 до -80.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} за додатного значення ±. Додайте -13 до \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{89} від -13.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+13x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+13x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+13x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Поділіть \frac{13}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{13}{8}. Потім додайте \frac{13}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{13}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{64}$$

Щоб додати -\frac{5}{4} до \frac{169}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{89}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

Відніміть \frac{13}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$