Розв'яжіть 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Знайдіть t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 1 з обох сторін.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4t^{2}+at+bt-1. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -4.

$$-1,4 -2,2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=-1 b=4$$

Перепишіть 4t^{2}+3t-1 як \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Винесіть за дужки t в 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Винесіть за дужки спільний член 4t-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 4t-1=0 і t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4t^{2}+3t=1$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 3 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Додайте 9 до 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-3±5}{8} за додатного значення ±. Додайте -3 до 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{8} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-3±5}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Розділіть -8 на 8.

$$t=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Поділіть \frac{3}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{8}. Потім додайте \frac{3}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{9}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Розкладіть t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Відніміть \frac{3}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$