Розв'яжіть 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1,414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0,477824106$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 37 замість a, -70 замість b і 25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Піднесіть -70 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Помножте -4 на 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Помножте -148 на 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Додайте 4900 до -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Число, протилежне до -70, дорівнює 70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Помножте 2 на 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} за додатного значення ±. Додайте 70 до 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

Розділіть 70+20\sqrt{3} на 74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} за від’ємного значення ±. Відніміть 20\sqrt{3} від 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

Розділіть 70-20\sqrt{3} на 74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Розділіть обидві сторони на 37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

Ділення на 37 скасовує множення на 37.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Поділіть -\frac{70}{37} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{35}{37}. Потім додайте -\frac{35}{37} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{35}{37} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

Щоб додати -\frac{25}{37} до \frac{1225}{1369}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Додайте \frac{35}{37} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$