Розв'яжіть 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 32 замість a, 250 замість b і -1925 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Піднесіть 250 до квадрата.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Помножте -4 на 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Помножте -128 на -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Додайте 62500 до 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Видобудьте квадратний корінь із 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Помножте 2 на 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} за додатного значення ±. Додайте -250 до 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Розділіть -250+10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} за від’ємного значення ±. Відніміть 10\sqrt{3089} від -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Розділіть -250-10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Додайте 1925 до обох сторін цього рівняння.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Якщо відняти -1925 від самого себе, залишиться 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Відніміть -1925 від 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Розділіть обидві сторони на 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Ділення на 32 скасовує множення на 32.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{250}{32} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Поділіть \frac{125}{16} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{125}{32}. Потім додайте \frac{125}{32} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{125}{32} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Щоб додати \frac{1925}{32} до \frac{15625}{1024}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Відніміть \frac{125}{32} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$