Розв'яжіть 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 31 замість a, -3 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Помножте -4 на 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Додайте 9 до -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Видобудьте квадратний корінь із -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Помножте 2 на 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} за додатного значення ±. Додайте 3 до i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{115} від 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Ділення на 31 скасовує множення на 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Поділіть -\frac{3}{31} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{62}. Потім додайте -\frac{3}{62} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{62} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Щоб додати -\frac{1}{31} до \frac{9}{3844}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Додайте \frac{3}{62} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$