Розв'яжіть 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Додайте 24 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Якщо відняти -24 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Відніміть -24 від 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 11 замість b і 24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Додайте 121 до -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -11 до i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{167} від -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Розділіть -24 на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Поділіть \frac{11}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{6}. Потім додайте \frac{11}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Додайте -8 до \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Відніміть \frac{11}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$